Абстрактный
Далее мы докажем, что согласованная плотность лагранжиана для электромагнитного поля в пустом пространстве равна
лэ м"="ϵ0⋅|| Е ||2−с2|| Б ||22− ρ ϕ + j ⋅ А(045)
то есть уравнения Эйлера-Лангранжа, полученные из этого лагранжиана, являются уравнениями Максвелла для электромагнитного поля.
Эта лагранжева плотность получается методом проб и ошибок (1) , а не путем угадывания.
1. Введение
Дифференциальные уравнения Максвелла электромагнитного поля в пустом пространстве имеют вид
∇ × Е∇ × В∇ ⋅ Э∇ ⋅ В= -∂Б∂т"="мю0Дж +1с2∂Е∂т"="рϵ0= 0(001а)(001б)(001с)(001д)
где
Э =
вектор напряженности электрического поля,
Б =
вектор плотности магнитного потока,
р =
плотность электрического заряда,
Дж =
вектор плотности электрического тока. Все величины являются функциями трех пространственных координат
(Икс1,Икс2,Икс3) ≡ ( х , у, г)
и время
т ≡Икс4
.
Из уравнения (001d) вектор магнитного потокаБ
может быть выражен как ротор векторного потенциалаА
В =∇× А(002)
и из (002) уравнение (001a) дает
∇ × ( Е +∂А∂т) =0(003)
поэтому член в скобках может быть выражен как градиент скалярной функции
Е +∂А∂т= - ∇ ϕ
то есть
E =-∇ϕ-∂А∂т(004)
Итак, шесть скалярных переменных, компоненты векторов
Е
и
Б
, может быть выражен как функция 4 скалярных переменных, скалярный потенциал
ф
и три компоненты векторного потенциала
А
.
Вставка выраженийЕ
иБ
, уравнения (002) и (004) соответственно, в уравнениях (001b) и (001c) имеем
∇ × ( ∇ × А ) знак равномю0Дж +1с2∂∂т( - ∇ ϕ -∂А∂т)(005)
и
−∇2ϕ -∂∂т( ∇ ⋅ А ) знак равнорϵ0(006)
При условии
∇ × ( ∇ × А ) знак равно ∇ ( ∇ ⋅ А ) -∇2А(007)
уравнение (005) дает
1с2∂2А∂т2−∇2А +∇ ( ∇ ⋅ А +1с2∂ф∂т) =мю0Дж(008)
2. Уравнения Эйлера-Лагранжа ЭМ поля.
Теперь наша основная задача — найти плотность лагранжианал
, функция четырех «координат поля» и их производных первого порядка
л = л (ηȷ,η⋅ȷ, ∇ηȷ)( ȷ = 1 , 2 , 3 , 4 )(009)
так что четыре уравнения скалярного электромагнитного поля (006) и (008) выводятся из уравнений Лагранжа
∂∂т⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂л∂(∂ηȷ∂т)⎤⎦⎥⎥⎥⎥+∑к = 1к = 3∂∂Икск⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂л∂(∂ηȷ∂Икск)⎤⎦⎥⎥⎥⎥−∂л∂ηȷ= 0,( ȷ = 1 , 2 , 3 , 4 )(010)
упрощенный в обозначении до
∂∂т(∂л∂η⋅ȷ) +∇⋅ [∂л∂( ∇ηȷ)] -∂л∂ηȷ= 0 ,( ȷ = 1 , 2 , 3 , 4 )(011)
Здесь лагранжева плотностьл
является функцией
- четыре «координаты поля»
η1η2η3η4"="А1(Икс1,Икс2,Икс3, т )"="А2(Икс1,Икс2,Икс3, т )"="А3(Икс1,Икс2,Икс3, т )"="ф (Икс1,Икс2,Икс3, т )(012.1)(012.2)(012.3)(012.4)
- их производные по времени
η⋅1η⋅2η⋅3η⋅4≡∂η1∂т"="∂А1∂т≡А⋅1≡∂η2∂т"="∂А2∂т≡А⋅2≡∂η3∂т"="∂А3∂т≡А⋅3≡∂η4∂т"="∂ф∂т≡ф⋅(013.1)(013.2)(013.3)(013.4)
и
- их градиенты
∇η1= ∇А1,∇η2= ∇А2,∇η3= ∇А3,∇η4= ∇ ϕ(014)
Выразим уравнения (006) и (008) в формах, аналогичных уравнениям Лагранжа (011)
∂∂т( ∇ ⋅ А ) + ∇ ⋅ ( ∇ ϕ ) - ( -рϵ0) =0(015)
и
∂∂т(∂Ак∂т+∂ф∂Икск) +∇⋅ [с2(∂А∂Икск− ∇Ак) ] -Джкϵ0= 0(016)
Уравнение Лагранжа (011) для
в = 4
, то есть для
η4= ф
, является
∂∂т(∂л∂ф⋅) +∇⋅ [∂л∂( ∇ ϕ )] -∂л∂ф= 0(017)
Сравнивая уравнения (015) и (017), заметим, что первое можно было бы вывести из второго, если
∂л∂ф⋅= ∇ ⋅ А,∂л∂( ∇ ϕ )= ∇ ϕ,∂л∂ф= -рϵ0(018)
так что лагранжева плотность
л
должны содержать соответственно термины
лα1≡ ( ∇ ⋅ А )ф⋅,лα2≡12∥ ∇ ϕ∥2,лα3≡ -р фϵ0(019)
и, следовательно, их сумма
лα"="лα1+лα2+лα3знак равно ( ∇ ⋅ А )ф⋅+12∥ ∇ ϕ∥2−р фϵ0(020)
Мы предполагаем, что подходящая лагранжева плотностьл
будет иметь форму
Л =лα+лβ(021)
и с тех пор
лα
дает уравнение (015), мы ожидаем, что
лβ
, который необходимо определить, даст уравнения (016). Это ожидание было бы правильным, если бы уравнения (015) и (016) были разделены, например, если бы первое содержало
ф
-термины только и второй
А
-только термины. Но здесь это не так:
лα
как содержащий
А
-термы будут участвовать в построении уравнений (016) и, кроме того,
лβ
будет участвовать в создании уравнения (015), возможно, взаимно разрушая производство уравнений, как мы ожидали. Но здесь мы следуем процедуре проб и ошибок, которая приведет к правильному ответу, как мы увидим далее.
Теперь уравнения Лагранжа (011) дляȷ = к = 1 , 2 , 3
, то есть дляηк"="Ак
, являются
∂∂т(∂л∂А⋅к) +∇⋅ [∂л∂( ∇Ак)] -∂л∂Ак= 0(022)
Сравнивая уравнения (016) и (022), заметим, что первое можно было бы вывести из второго, если
∂л∂А⋅к"="А⋅к+∂ф∂Икск,∂л∂( ∇Ак)"="с2(∂А∂Икск− ∇Ак),∂л∂Ак"="Джкϵ0(023)
Из 1-го уравнения (023)лβ
часть лагранжевой плотностил
должны содержать термины
12∥∥А⋅к∥∥2+∂ф∂ИкскА⋅к,к = 1 , 2 , 3(024)
и поэтому их сумма по отношению к
к
лβ1≡12∥∥А˙∥∥2+ ∇ ϕ ⋅А˙(025)
Из 2-го уравнения (023)лβ
часть лагранжевой плотностил
должны содержать термины
12с2[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2],к = 1 , 2 , 3(026)
и поэтому их сумма по отношению к
к
лβ2≡12с2∑к = 1к = 3[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2](027)
Из 3-го уравнения (023)
лβ
часть лагранжевой плотности
л
должны содержать термины
ДжкАкϵ0,к = 1 , 2 , 3(028)
и поэтому их сумма по отношению к
к
лβ3≡дж ⋅ Аϵ0(029)
Из уравнений (025), (027) и (029)лβ
часть лагранжевой плотностил
является
лβ"="лβ1+лβ2+лβ3"="12∥∥А˙∥∥2+ ∇ ϕ ⋅А˙+12с2∑к = 1к = 3[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2] +дж ⋅ Аϵ0(030)
Наконец, из выражений (020) и (030) для плотностейлα,лβ
плотность ЛагранжаЛ =лα+лβ
является
л"="лα+лβзнак равно ( ∇ ⋅ А )ф⋅+12∥ ∇ ϕ∥2−р фϵ0+12∥∥А˙∥∥2+ ∇ ϕ ⋅А˙+12с2∑к = 1к = 3[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2] +дж ⋅ Аϵ0(это неправильная плотность Лагранжа)(031)
3. Ошибка-проба-окончательный успех
Вставка этого выражения плотности Лагранжа в уравнение Лагранжа относительноф
, то есть уравнение (017), не дает уравнения (006), но
−∇2ϕ -∂∂т( 2 ∇ ⋅ А ) знак равнорϵ0,( неправильно )(032)
Появление доп.
( ∇ ⋅ А )
происходит из-за термина
( ∇ ϕ ⋅А˙)
из
лβ
и поэтому плотность Лагранжа, заданная уравнением (031), не является подходящей.
Чтобы решить эту проблему, мы должны посмотреть на (015), то есть (006), с другой точки зрения следующим образом.
∇ ⋅ ( ∇ ϕ +А˙) - ( -рϵ0) =0(033)
Сравнивая уравнения (033) и (017), заметим, что первое можно было бы вывести из второго, если вместо (018) иметь
∂л∂ф⋅= 0,∂л∂( ∇ ϕ )= ∇ ϕ +А˙,∂л∂ф= -рϵ0(034)
поэтому вместо (019) и (020) соответственно уравнения
л′α1≡ 0,л′α2≡12∥ ∇ ϕ∥2+ ∇ ϕ ⋅А˙,л′α3"="лα3≡ -р фϵ0(035)
л′α"="л′α1+л′α2+л′α3"="12∥ ∇ ϕ∥2+ ∇ ϕ ⋅А˙−р фϵ0(036)
Теперь необходимо исключить из
лβ1
, уравнение (025), второй член
( ∇ ϕ ⋅А˙)
так как он появляется в
л′α2
, см. второе из приведенных выше уравнений (035).
Итак, мы имеем вместо (025)
л′β1≡12∥∥А˙∥∥2(037)
пока
лβ2,лβ3
остаются неизменными, как в уравнениях (027) и (029)
л′β2л′β3"="лβ2≡12с2∑к = 1к = 3[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2]"="лβ3≡дж ⋅ Аϵ0(038)(039)
Вместо (030)
л′β"="л′β1+л′β2+л′β3"="12∥∥А˙∥∥2+12с2∑к = 1к = 3[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2] +дж ⋅ Аϵ0(040)
и, наконец, для новой лагранжевой плотности мы имеем вместо (031)
л′"="л′α+л′β"="12∥ ∇ ϕ∥2+ ∇ ϕ ⋅А˙−р фϵ0+12∥∥А˙∥∥2+12с2∑к = 1к = 3[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2] +дж ⋅ Аϵ0(041)
Плотностьл′
(041) получается из плотностил
уравнения (031), если опустить член( ∇ ⋅ А )ф⋅
. Такл′
не зависит от ф⋅
.
В следующих уравнениях фигурная скобка над левыми тремя членами группирует ту часть плотностил′
который существенно участвует в производстве электромагнитного уравнения (006) из уравнения Лагранжа относительноф
, уравнение (017), а фигурная скобка под правыми 4 членами группирует ту часть плотностил′
который существенно участвует в производстве электромагнитных уравнений (008) из уравнений Лагранжа относительноА1,А2,А3
, уравнение (022).
л′"="12∥ ∇ ϕ∥2−р фϵ0+ ∇ ϕ ⋅А˙относительно ϕ+12∥∥А˙∥∥2+12с2∑к = 1к = 3[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2] +дж ⋅ Аϵ0
л′"="12∥ ∇ ϕ∥2−р фϵ0+∇ ϕ ⋅А˙+12∥∥А˙∥∥2+12с2∑к = 1к = 3[∂А∂Икск⋅ ∇Ак− ∥ ∇Ак∥2] +дж ⋅ Аϵ0по отношению к А
Обратите внимание на общий термин( ∇ ϕ ⋅А˙)
.
Переупорядочив слагаемые в выражении (041) плотностил′
у нас есть
л′"="12∥∥А˙∥∥2+12∥ ∇ ϕ∥2+ ∇ ϕ ⋅А˙12∥∥− ∇ ϕ −∂А∂т∥∥2−12с2∑к = 1к = 3[ ∥ ∇Ак∥2−∂А∂Икск⋅ ∇Ак]∥ ∇ × А ∥2+1ϵ0( - ρ ϕ + j ⋅ А )
− − − − − − − − − − − − − − − − −(042)
то есть
л′"="12∣∣∣∣∣∣− ∇ ϕ −∂А∂т∣∣∣∣∣∣2−12с2|| ∇ × А ||2+1ϵ0( - ρ ϕ + j ⋅ А )(043)
или
л′"="|| Е ||2−с2|| Б ||22+1ϵ0( - ρ ϕ + j ⋅ А )(044)
Теперь, если плотностьл′
должны иметь размеры энергии на единицу объема, которые мы определяемлэ м"="ϵ0л′
так
лэ м"="ϵ0⋅|| Е ||2−с2|| Б ||22− ρ ϕ + j ⋅ А(045)
имея в виду, что
∥ Э ∥2∥ Б ∥2"="∥∥∥− ∇ ϕ −∂А∂т∥∥∥2"="∥∥А˙∥∥2+ ∥ ∇ ϕ∥2+ 2 ( ∇ ϕ ⋅А˙)"="∥ ∇ × А ∥2"="∑к = 1к = 3[ ∥ ∇Ак∥2−∂А∂Икск⋅ ∇Ак](046а)(046б)
скаляр(|| Е ||2−с2|| Б ||2)
является одним из двух инвариантов Лоренца (2) поля (другойЭ ⋅ В
) практически равно постоянному времениЕмк νЕмк ν
, гдеЕмк ν
антисимметричный тензор поля (2) .
С другой стороны, скаляр( - ρ ϕ + j ⋅ А )
по сути является внутренним продуктомДжмюАмю
в пространстве Минковского двух 4-векторов: 4-плотность токаДжмю= ( с р , j )
и 4-потенциалАмю= ( ϕ / с , А )
, тоже лоренц-инвариантный скаляр.
Итак, лагранжева плотностьлэ м
в уравнении (045) является лоренц-инвариантным.
(1) Путем проб и ошибок я нашел лагранжиан в более сложном и сложном случае: см. мой ответ как user82794 здесь Получите лагранжиан из системы связанных уравнений
(2) Следуя У. Риндлеру в «Введении в специальную теорию относительности» изд. 1982 г., этот тензор выводится из уравнения (38.15)
Емк ν"="⎡⎣⎢⎢⎢0−Е1−Е2−Е3Е10сБ3− сБ2Е2− сБ30сБ1Е3сБ2− сБ10⎤⎦⎥⎥⎥такЕмк ν"="⎡⎣⎢⎢⎢0Е1Е2Е3−Е10сБ3− сБ2−Е2− сБ30сБ1−Е3сБ2− сБ10⎤⎦⎥⎥⎥(38.15)
что, делая замены (двойственности)
Е →-с В
и
в В → Е
урожаи
Бмк ν"="⎡⎣⎢⎢⎢0сБ1сБ2сБ3− сБ10сЕ3−Е2− сБ2−Е30Е1− сБ3Е2−Е10⎤⎦⎥⎥⎥такБмк ν"="⎡⎣⎢⎢⎢0− сБ1− сБ2− сБ3сБ10сЕ3−Е2сБ2−Е30Е1сБ3Е2−Е10⎤⎦⎥⎥⎥(39.05)
Два инвариантаЕмк ν
- сразу распознаваемые как таковые по способу их образования - могут быть выражены следующим образом:
ИксД"="12Емк νЕмк ν= -12Бмк νБмк ν"="с2|| Б ||2−|| Е ||2"="14Бмк νЕмк ν= с В ⋅ Е(39.06)(39.07)
пользователь1504
Qмеханик