Является ли использование ἀγάπη (агапе) и ἀγαπάω (агапао) свидетельством того, что Евангелие и Послания Иоанна были написаны из Ефеса?

Извините, но нет. Как было указано в комментариях, ἀγαπάω — это просто глагольная форма существительного ἀγάπη. Если вы сделаете сравнение с английским языком, это будет похоже на сравнение между словом to loveи словом love, используемым в качестве существительного. Например:

Я люблю своего отца.

Я всегда проявлял любовь к моему отцу.

По сути это одно и то же слово. Что мешает мне использовать слово в обоих случаях в одном и том же тексте? Ничего такого. Точно так же выходит.

При этом я понимаю ваш вопрос о том, что оба они используются в одном и том же месте: но задумайтесь на секунду: Павел, вероятно, написал свое письмо около 62 г. н.э. Евангелие от Иоанна, однако, вероятно, было написано примерно 8 лет спустя - в 70 г. н.э. Будет ли точное фразеология из его письма еще торчит? И если да, то почему у нас нет фразеологии, например, «μυστήριον τοῦ θελήματος» (загадка его воли) или «ἀρραβὼν τῆς κληρονομίας» (искренние нашего наследства) или «τῇ γὰρονομίας» (искренний наследство) или «ῇ γὰρονοкого») появляется в книге Джона?

Использование этих двух слов — просто естественное излияние сердца Иоанна как апостола любви. На самом деле, если принять во внимание только написание послания, логичным местом для написания Иоанном своего послания был бы Коринф, поскольку в Первом и Втором Посланиях к Коринфянам есть столько же или больше ссылок на форму существительного агапе в них, и почти столько же в форме глагола, особенно если исключить отрывки из Послания к Ефесянам, где он говорит о мужьях, любящих своих жен.

Очевидно, я не привожу такого аргумента: я захожу настолько далеко, что могу сказать, что вероятность того, что Павел так сильно повлиял на письма Иоанна, весьма сомнительна и не может быть использована для определения места написания произведений Иоанна.

Я люблю своего отца.

Я всегда проявлял любовь к моему отцу.

Эти фразы очень разные. На самом деле они показывают разницу между агапе и агапао . Христос спросил , почему ты говоришь, что любишь Меня (перефразируя), а потом не показываешь Мне, что любишь Меня? Я могу сказать, что люблю своего отца, однако , если я хочу доказать своему отцу, что люблю его, это будет показано , если я покажу ему, что люблю его.

Это была проблема, которая постоянно была у Господа со Своим народом .
Они говорили , что любят (агапе) Господа, но на самом деле они не агапао (показывали Ему), что любят Его.