Задача Раби для частицы со спином 1

Question

Задача Раби для частицы со спином 1

Чарли

Я пытаюсь решить аналитически вероятность перехода частицы со спином 1 в магнитном поле.

\vec{Б} "=" Б_{0} \hat{к} + б (потому что ю т \hat{я} + с я н ю т \hat{Дж}) .

$\vec{B}=B_0\hat{k}+b(\cos{\omega t}\hat{i}+sin{\omega t}\hat{j}).$

В частности, я хочу найти

п (С_{г} "=" ℏ \to С_{г} "=" 0) и п (С_{г} "=" ℏ \to С_{г} "=" - ℏ) .

$\mathcal{P}(S_z=\hbar\rightarrow S_z=0)\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;\mathcal{P}(S_z=\hbar\rightarrow S_z=-\hbar).$

Я знаю, что гамильтониан имеет вид

ЧАС (т) "=" - ℏ ю_{0} (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}) - \frac{ℏ ю_{⊥}}{\sqrt{2}} (\begin{array}{ccc} 0 & е^{- я ю т} & 0 \\ е^{я ю т} & 0 & е^{- я ю т} \\ 0 & е^{я ю т} & 0 \end{array}),

$H(t)=-\hbar\omega_0\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right) -\frac{\hbar\omega_\perp}{\sqrt2}\left( \begin{array}{ccc} 0 & e^{-i\omega t} & 0 \\ e^{i\omega t} & 0 & e^{-i\omega t} \\ 0 & e^{i\omega t} & 0 \end{array} \right),$

с момента определения $S_x$ , $S_y$ и $S_z$ .

Я следил за случаем со спином 1/2. Нахожу систему дифференциальных уравнений:

я ℏ \dot{а} (т) "=" - ℏ ю_{0} а (т) - \frac{ℏ ю_{⊥}}{\sqrt{2}} е^{- я ю т} б (т)

$i\hbar\dot a(t)=-\hbar\omega_0 a(t)-\frac{\hbar\omega_\perp}{\sqrt{2}}e^{-i\omega t}b(t)$

я ℏ \dot{б} (т) "=" - \frac{ℏ ю_{⊥}}{\sqrt{2}} [е^{я ю т} а (т) + е^{- я ю т} с (т)]

$i\hbar\dot b(t)=-\frac{\hbar\omega_\perp}{\sqrt 2}[e^{i\omega t}a(t)+e^{-i\omega t}c(t)]$

я ℏ \dot{с} (т) "=" ℏ ю_{0} с (т) - \frac{ℏ ю_{⊥}}{\sqrt{2}} е^{я ю т} б (т)

$i\hbar\dot c(t)=\hbar\omega_0 c(t)-\frac{\hbar\omega_\perp}{\sqrt{2}}e^{i\omega t}b(t)$

Так как это проще с независимыми от времени коэффициентами, я могу определить

А (т) "=" а (т) е^{я β т}, Б (т) "=" б (т) и С (т) "=" с (т) е^{- я β т}

$A(t)=a(t)e^{i\beta t},\;\;\;\;B(t)=b(t)\;\;\;\;\text{and}\;\;\;\;C(t)=c(t)e^{-i\beta t}$ и (установка

β = ω

$\beta=\omega$ ) переписать предыдущую систему:

я \dot{А} (т) "=" - дельта А (т) - \frac{ю_{⊥}}{\sqrt{2}} Б (т)

$i\dot A(t)=-\delta A(t)-\frac{\omega_\perp}{\sqrt2}B(t)$

я \dot{Б} (т) "=" - \frac{ю_{⊥}}{\sqrt{2}} (А (т) + С (т))

$i\dot B(t)=-\frac{\omega_\perp}{\sqrt2}(A(t)+C(t))$

я \dot{С} (т) "=" дельта С (т) - \frac{ю_{⊥}}{\sqrt{2}} Б (т),

$i\dot C(t)=\delta C(t)-\frac{\omega_\perp}{\sqrt2}B(t),$

где $\delta=\omega-\omega_0$ ; или в матричной форме:

я (\begin{matrix} \dot{А} (т) \\ \dot{Б} (т) \\ \dot{С} (т) \end{matrix}) "=" - (\begin{array}{ccc} дельта & \frac{ю_{⊥}}{\sqrt{2}} & 0 \\ \frac{ю_{⊥}}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{ю_{⊥}}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{ю_{⊥}}{\sqrt{2}} & - дельта \end{array}) (\begin{matrix} А (т) \\ Б (т) \\ С (т) \end{matrix}) .

$i\left( \begin{array}{c} \dot A(t)\\ \dot B(t)\\ \dot C(t) \end{array} \right) =- \left( \begin{array}{ccc} \delta & \frac{\omega_\perp}{\sqrt2} & 0 \\ \frac{\omega_\perp}{\sqrt2} & 0 & \frac{\omega_\perp}{\sqrt2} \\ 0 & \frac{\omega_\perp}{\sqrt2} & -\delta \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} A(t)\\ B(t)\\ C(t)\end{array} \right).$

Теперь решение такого уравнения, где матрица коэффициентов $M$ , так должно быть

(\begin{matrix} А (т) \\ Б (т) \\ С (т) \end{matrix}) "=" е^{я М т} (\begin{matrix} А (0) \\ Б (0) \\ С (0) \end{matrix}) .

$\left( \begin{array}{c} A(t)\\ B(t)\\ C(t)\end{array} \right)=e^{iMt} \left( \begin{array}{c} A(0)\\ B(0)\\ C(0)\end{array} \right).$

Теперь я должен найти явное решение, чтобы оценить вероятность (мне нужно $|B(t)|^2$ и $|C(t)|^2$ ). Проблема в том, что в случае спина 1/2 можно использовать прием записи экспоненты матрицы в виде суммы синуса и косинуса (поскольку все нечетные степени $\propto$ $M$ и все равно $\propto$ $\mathbb{I}$ ), но сейчас это невозможно.

Как мне поступить?

я умею диагонализовать $M$ и использовать свойство $e^{-iMt}=Pe^{-iDt}P^{-1}$ , то с экспонентой диагональной матрицы проблем быть не должно, но долго и нудно. Нет ли другого метода, который я мог бы использовать? Или я допустил какую-то ошибку?

Хиггсс

Эта проблема должна быть решена путем преобразования во вращающуюся рамку. См. стр. 391-394 книги Шанкара по квантовой механике, чтобы понять, как этот метод работает для спина 1/2. Тогда, я думаю, вы могли бы опубликовать свой собственный ответ.

Чарли

Извините, но я не понимаю, как ротация может решить мою проблему. Насколько я понимаю, Шанкар не заинтересован в поиске решения для состояния в случае возмущенного поля.

Ответы (2)

Задача Раби для частицы со спином 1

Эта проблема должна быть решена путем преобразования во вращающуюся рамку. См. стр. 391-394 книги Шанкара по квантовой механике, чтобы понять, как этот метод работает для спина 1/2. Тогда, я думаю, вы могли бы опубликовать свой собственный ответ.
Извините, но я не понимаю, как ротация может решить мою проблему. Насколько я понимаю, Шанкар не заинтересован в поиске решения для состояния в случае возмущенного поля.

Чарли · Answer 1

В конце концов я решил ее, используя теорему Кэли–Гамильтона.

Поскольку характеристический многочлен $M$ является

λ^{3} "=" {Ом}^{2} λ,

$\lambda^3=\Omega^2\lambda,$

где $\Omega=\sqrt{\delta^2+\omega_{\perp}^2}$ , у нас есть это

М^{3} "=" {Ом}^{2} М .

$M^3=\Omega^2M.$

Затем ( $M^4=\Omega^2M^2$ , $M^5=\Omega^4M$ , $\dots$ )

е^{я М т} "=" я + я М т + \frac{(я М т)^{2}}{2!} + . . . "=" я - \frac{М^{2}}{{Ом}^{2}} + \frac{М^{2}}{{Ом}^{2}} потому что (Ом т) + я \frac{М}{2} грех (Ом т) .

$e^{iMt}=\mathbb{I}+iMt+\frac{(iMt)^2}{2!}+...=\mathbb{I}-\frac{M^2}{\Omega^2}+\frac{M^2}{\Omega^2}\cos{(\Omega t)}+i\frac{M}{2}\sin{(\Omega t)}.$

Наконец, можно вычислить вероятности:

п (1 \to 0, т) "=" | Б (т) |^{2} "=" \frac{{дельта}^{2} ю_{⊥}^{2}}{{Ом}^{4}} 2 {грех}^{4} (\frac{Ом т}{2}) + \frac{ю_{⊥}^{2}}{2 {Ом}^{2}} {грех}^{2} (Ом т),

$\mathcal{P}(1\rightarrow 0,t)=|B(t)|^2=\frac{\delta^2\omega_\perp^2}{\Omega^4}2\sin^4{\left(\frac{\Omega t}{2}\right)}+\frac{\omega^2_\perp}{2\Omega^2}\sin^2{(\Omega t)},$

п (1 \to - 1, т) "=" | С (т) |^{2} "=" \frac{ю_{⊥}^{4}}{{Ом}^{4}} {грех}^{4} (\frac{Ом т}{2}) .

$\mathcal{P}(1\rightarrow -1,t)=|C(t)|^2=\frac{\omega_\perp^4}{\Omega^4}\sin^4{\left(\frac{\Omega t}{2}\right)}.$

Хиггсс · Answer 2

Вы можете преобразовать во вращающуюся рамку следующим образом:

ψ_{р о т} (т) "=" \hat{U} (т) ψ (т),

$\begin{equation} \psi_{\mathrm{rot}} (t) = \hat{U}(t)\psi(t), \end{equation}$ где зависящее от времени унитарное преобразование

U (t)

$U(t)$ определяется

U (т) \equiv опыт (я ю т С_{г} / ℏ) "=" (\begin{matrix} е^{я ю т} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & е^{- я ю т} \end{matrix}) .

$\begin{equation} U(t) \equiv \exp\left(i\omega t S_{z}/\hbar\right) = \begin{pmatrix} e^{i\omega t}&0&0\\ 0&1&0\\0&0&e^{-i\omega t}\end{pmatrix}. \end{equation}$ Можно убедиться, что

ψ_{r o t} (t)

$\psi_{\mathrm{rot}} (t)$ удовлетворяет

я ℏ {\dot{ψ}}_{р о т} (т) "=" {ЧАС}_{р о т} ψ_{р о т} (т),

$\begin{equation} i\hbar\dot{\psi}_{\!\mathrm{rot}}(t) = H_{\mathrm{rot}}\psi_{\mathrm{rot}}(t), \end{equation}$ где

{ЧАС}_{р о т} "=" (ю_{0} - ю) С_{г} + \sqrt{2} ю_{⊥} С_{Икс} .

$\begin{equation} H_{\mathrm{rot}} = (\omega_{0}-\omega)S_{z} + \sqrt{2}\omega_{\perp} S_{x}. \end{equation}$ Во вращающейся системе отсчета гамильтониан не зависит от времени.

Хорошо, но теперь, если я попытаюсь найти явное решение для $\psi_{rot}$ У меня та же проблема, что и раньше.
@Чарли Верно. Но это гамильтониан вида $B\, \textbf{S}\cdot\hat{\textbf{n}}$ , и существует унитарный оператор $V$ такой, что $V S_{z} V^{-1} = \textbf{S}\cdot \hat{\textbf{n}}$ . Для этой конкретной проблемы $V$ представляет собой вращение вокруг $y$ -ось.

Задача Раби для частицы со спином 1

Чарли

Хиггсс

Чарли

Ответы (2)

Чарли

Хиггсс

Чарли

Хиггсс

Матричное представление углового момента

Какое отношение имеет четность к определению углового момента?

Собственные значения системы из двух частиц в связанном и несвязанном базисе

Гамильтониан гармонического осциллятора со спиновым членом

Как получить векторное соотношение для частоты Раби?

Расчет ожидаемого значения спина [закрыто]

Матрица Паули для триплетного состояния?

Спиноры и вероятности электрон-позитронной пары

Как измерить спин в произвольном направлении?

Эволюция собственных состояний при соединении двух спиновых систем