Более общая инвариантность функционала действия

Я сформулирую свой вопрос в классическом случае, где все проще всего.

Обычно, когда говорят о непрерывной симметрии теории, имеют в виду однопараметрическую группу диффеоморфизмов конфигурационного пространства М которые фиксируют функционал действия С : п → р , куда п есть пространство временных эволюций, т.е. дифференцируемые пути в М . Идея состоит в том, что при некоторой начальной конфигурации ( Икс 0 , в 0 ) е Т М , есть путь в п проходя через Икс 0 со скоростью в 0 и сведение к минимуму С среди всех таких путей. Я предполагаю, что этот путь уникален, что почти всегда так и есть. Таким образом, если диффеоморфизм фиксирует С , он коммутирует с определением этого пути. Говорят, что физика не меняется при диффеоморфизме.

Теперь вопрос: существуют ли другие диффеоморфизмы, оставляющие физику неизменной? Все, что нужно сделать, это убедиться, что структура критических точек С не меняются в силу диффеоморфизма.

Я буду более конкретным. Напишите п Икс 0 , в 0 как множество путей в М проходя через Икс 0 со скоростью в 0 . Диффеоморфизм ф : М → М является симметрией теории С : п → р если для каждого ( Икс 0 , в 0 ) е Т М , γ е п Икс 0 , в 0 является критической точкой С | п Икс 0 , в 0 если ф ∘ γ является критической точкой С | п ф ( Икс 0 ) , ф * ( в 0 ) .

Для меня не очевидно, что это подразумевает С знак равно С ∘ ф − 1 , куда ф − 1 является индуцированным отображением посткомпозицией на п . Если такие симметрии существуют, что мы можем сказать о теореме Нётер?

Возможно, аналогичная ситуация в гамильтоновом формализме имеет место в соответствии между гамильтоновыми потоками и бесконечно малыми каноническими преобразованиями. Здесь векторное поле Икс можно показать, что это инфинитезимальное каноническое преобразование тогда и только тогда, когда его сжатие с гамильтоновой 2-формой замкнуто. Это сокращение можно записать как г ф для некоторой функции ф (и, следовательно Икс как гамильтонов поток ф ) в общем тогда и только тогда, когда ЧАС 1 ( М ) знак равно 0 . Это аналог? Какая связь? Было указано, что это препятствие не зависит от гамильтониана, поэтому, вероятно, не связано.

Спасибо!

PS. Если у кого-то больше граффити, отмечайте.

Ответы (2)

Позволять ф с : п → п — индуцированный диффеоморфизм на пространстве путей. Вы предполагаете, что нулевой набор Z е р о ( г С ) совпадает с нулевым множеством Z е р о ( ф с * г С ) . Это даже не означает, что г С знак равно ф с * г С , не говоря уже о С знак равно ф с * С .

Примером может служить свободная частица на р . Позволять С знак равно ∫ Икс ˙ ( т ) 2 г т и рассмотрим масштабное преобразование Икс → опыт ⁡ ( с ) Икс . Тогда критические точки являются прямыми Икс ( т ) знак равно Икс 0 + в 0 т и трансформация их явно сохраняет. С другой стороны, действие умножается на опыт ⁡ ( 2 с ) .

Чтобы понять разницу между Z е р о ( г С ) знак равно Z е р о ( ф с * г С ) а также г С знак равно ф с * г С , рассмотрим график г С в Т * п . Первое условие фиксирует только точки пересечения с нулевым сечением, а второе условие фиксирует сам график. Ясно, что в С ∞ мире вы можете настроить поведение г С от точек пересечения так далеко, как вам нравится. В голоморфном мире достаточно вспомнить разложения Тейлора вокруг критических точек.

Окончательно, г С знак равно ф с * г С не означает, что С знак равно ф с * С : ты только это знаешь С знак равно ф с * С + с ( с ) , куда с является локально постоянной функцией на п который исчезает в с знак равно 0 .

Во-первых, достаточно, чтобы изменение действия было полной дивергенцией (в более общем случае теории поля), т. е. в случае механики - производной по времени. Классическим примером может служить повышенная симметрия — переходы между системами отсчета. Единственная проблема, которая не совсем соответствует вашей структуре, поскольку она явно зависит от координаты времени.

Во-вторых, для этого достаточно выполняться на оболочке, т.е. когда уравнения движения выполняются. В случае теории поля классическим примером этого является суперсимметрия. Вероятно, существует механический (одномерный) аналог. Однако этот пример живет в немного более общем мире супермногообразий. Конечно, можно создать искусственные примеры такого рода, которые точно соответствуют вашим настройкам — вы можете настроить функционал действия практически так, как вам нравится, вдали от критических точек (только позаботьтесь о том, чтобы не создавать новые критические точки).

В-третьих, как показывают приведенные выше примеры, утверждение «обычно, когда говорят о непрерывной симметрии теории, имеют в виду однопараметрическую группу диффеоморфизмов конфигурационного пространства...» неверно. Вместо этого мы можем рассмотреть любое локальное во времени преобразование в пространстве истории. Кстати, все это обсуждение в равной степени относится к дискретным симметриям. Также часто рассматривают многопараметрические группы, но это уже семантика

Я не думаю, что ваша аналогия с гамильтонианом верна, поскольку мои примеры выше не связаны с какими-либо топологическими препятствиями. Кстати, примером потока, который является симплектическим, но не гамильтоновым, является эволюция во времени частицы на окружности под действием постоянной силы, движущей ее, например, по часовой стрелке повсюду, что является системой без лагранжевой формулировки.

А, спасибо. Вы прояснили некоторые мои мысли. Я хотел сосредоточиться на непрерывных симметриях, потому что в основе всего этого я думал о ее разветвлениях для теоремы Нётер. Не могли бы вы пояснить, что вы подразумеваете под «локально-временным преобразованием в пространстве истории»? Я думаю о каком-то автоморфизме пространства возможных мировых линий на оболочке, но я не уверен, какую структуру вы хотите сохранить для каждой строки.
Локальный по времени означает, что результат преобразования в каждый момент времени зависит только от малой временной окрестности. Сюда входят все преобразования, которые могут быть выражены с использованием самого времени, координат конфигурационного пространства и конечного числа производных координат конфигурационного пространства, что является популярным определением локальности в текстах по физике. Однако я считаю, что правильным математическим определением является следующее. «Локальное во времени» преобразование — это гладкий автоморфизм пучка историй (вне оболочки). Некоторые технические аспекты связаны с определением гладкости для бесконечного затемнения.
Ладно, в этом есть смысл. Теперь, возвращаясь к (упрощенной) формулировке, которую я дал выше, предполагая существование симметрии, которая сохраняет критическую структуру действия, но не обязательно само действие, что мы можем сказать о любых возникающих вследствие этого сохраняющихся величинах?
Если ваше преобразование даже не сохраняет г С , нет никакой надежды получить какие-либо законы сохранения.
Более общая инвариантность функционала действия
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v