Канонические коммутационные отношения в произвольных канонических координатах

Если бы кто-то сформулировал квантовую механику в произвольной канонической системе координат, наложил бы он канонические коммутационные соотношения, используя рецепт Дирака?

[ Вопрос ^ я , п ^ Дж ]   "="   я ℏ   { д я , п Дж }

Здесь д я и п Дж – канонические координаты и сопряженные импульсы; Вопрос ^ я и п ^ Дж соответствующие квантовые операторы; и { } и и [ ] скобка Пуассона и квантовый коммутатор.

В этом рецепте можно ли определить операторы квантового импульса таким образом?

п ^ я   "="   − я ℏ ∂ ∂ д я

В сообщении ниже есть комментарий, в котором говорится, что этот рецепт не всегда работает. Может ли кто-нибудь пролить больше света на это?

Какая система координат подтверждает экспериментальные данные квантового уровня?

Пожалуйста, предложите ссылки на эту тему.

Я ссылаюсь на комментарий здесь, что этот рецепт не всегда работает. Не могли бы вы уточнить это? физика.stackexchange.com/q/105737
Мой пост Phys.SE здесь является ответом на вопрос (v2).

Ответы (1)

Рецепт квантования

(1) [ Икс ^ , у ^ ] "=" я ℏ { Икс , у } ^
для Икс , у Две классические координаты фазового пространства имеют свои тонкости. В частности, как говорится в ответе на связанный вопрос, это приводит к противоречивым результатам, когда применяется, например, к полярным координатам. Причина этого двояка:

  1. Для радиальной координаты р , наивный оператор ℏ я ∂ ∂ р не является самосопряженным на л 2 ( [ 0 , р ] , г Икс ) из-за несовпадения доменов его и примыкающего к нему. Однако минимальное преобразование его в самосопряженное не решает проблему, поскольку

  2. Мы не должны использовать скобку Пуассона в первую очередь.

Почему бы и нет, спросите вы, и почему это обычно работает? Мы не должны использовать его, потому что теорема Грёневольда-ван Хоува говорит, что никакая процедура квантования не может последовательно предоставить отображение из классических функций фазового пространства. ф к квантово-механическим операторам ф ^ такой, что

  1. ( 1 ) держит

  2. для каждого многочлена п мы получаем п ( ф ) ^ "=" п ( ф ^ ) для каждой функции фазового пространства ф

  3. Операторы, коммутирующие со всем, кратны единице (неприводимо к представлению алгебры наблюдаемых).

Таким образом, мы должны отказаться от одного из них, и один из способов, который дает правильную квантованную теорию даже, например, для выбора полярных координат, — это использование рецепта

[ Икс ^ , у ^ ] "=" я ℏ { { Икс , у } } ^
где двойные фигурные скобки теперь указывают на скобку Мойала , которая является деформацией алгебры Пуассона с параметром ℏ такой, что он согласуется со скобкой Пуассона в первом порядке:
{ { ф , г } } "=" { ф , г } + О ( ℏ )
Этот подход известен как квантование деформации , и, исследуя явное определение скобки Мойала (данное в связанной статье Википедии) в канонических декартовых координатах (поскольку оно не сохраняется при канонических преобразованиях), можно увидеть, что оно согласуется со скобкой Пуассона, если применяется к декартовым координатам Икс , п Икс , но дает поправки более высокого порядка к скобке полярных координат, объясняя, почему наивное каноническое квантование не работает для полярных координат.

Канонические коммутационные отношения в произвольных канонических координатах
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v