На первом (или втором) курсе квантовой механики все узнают, как решить нестационарное уравнение Шредингера для энергетических собственных состояний атома водорода:
Хороший обзор проблемы дан в arXiv:1205.3740 . Я кратко изложу здесь самые важные моменты.
Позволять быть количеством пространственных измерений. Тогда оператор Лапласа имеет вид
Кулоновский потенциал определяется решением уравнения
Один из способов показать приведенное выше выражение — рассмотреть закон Гаусса в размеры, то есть где площадь сферу можно найти здесь .
При этом уравнение Шрёдингера имеет вид
Задача имеет сферическую симметрию, поэтому, как обычно, можно написать
Использование этой формы для , уравнение Шредингера принимает вид
Теперь эта проблема на собственные значения не имеет известного аналитического решения, поэтому мы должны прибегнуть к численным методам. Вы можете найти числовые значения энергий в статье arxiv. Важным моментом, который рассматривается в этой статье, является отсутствие отрицательных собственных значений для , то есть нет связанных состояний более чем в трех измерениях. Но для есть стабильные орбиты с положительной энергией , с хорошими волновыми функциями.
Чтобы ответить на некоторые ваши вопросы:
В общем нужно квантовые числа для размерности по модулю вырождений. В случае атома водорода в 3D есть сферическая симметрия и случайная симметрия , так что вам нужно только одно квантовое число. В размеров сферическая симметрия сохраняется, но я думаю, что случайной нет, а это значит, что нужно квантовые числа для . Нужно проверить, сохраняется ли вектор Рунге-Ленца в размеры или нет (оставил в качестве упражнения). Если бы этот вектор действительно сохранялся, то энергии зависели бы от квантовые числа.
Поскольку нет аналитического решения радиального уравнения Шредингера, мы не знаем. В случае размерности, правило квантования Бора-Зоммерфельда оказывается точным. Мы могли бы проверить, что предсказывает эта схема для (хотя мы не могли знать, будет ли это точно или нет: мы должны сравнить с численными результатами).
Они хорошо известны математикам. О них можно прочитать в статье в Википедии .
В закрытом виде нет. Я не знаю асимптотической формулы, но ее довольно легко вывести из радиального уравнения Шредингера, где центробежный член доминирует для , так что кулоновским членом можно пренебречь.
В сферически-симметричных системах потенциал не зависит ни от ни . В этих системах энергии не зависят от , азимутальное квантовое число . Следовательно, в общем случае для радиальных потенциалов энергии зависят от двух квантовых чисел: . В конкретном случае , есть еще одна симметрия, довольно неожиданная (или, по крайней мере, не очень интуитивная с геометрической точки зрения). Когда вращательная симметрия увеличен в симметрии, и эта новая симметрия известна как случайная симметрия . Эта симметрия делает энергетические уровни независимыми от , то есть, . Обратите внимание, что эта симметрия отсутствует в остальной части атомной таблицы, то есть в многоэлектронных атомах, что делает энергетические уровни зависимыми от углового момента (и, следовательно, правил Хунда ).
Можно проиллюстрировать вышеизложенное как
Qмеханик