Каков физический смысл действия в лагранжевой механике?

Гамильтониан H и лагранжиан L , являющиеся довольно абстрактными конструкциями в классической механике, получают очень простую интерпретацию в релятивистской квантовой механике. Оба пропорциональны количеству фазовых переходов в единицу времени. Гамильтониан проходит по оси времени (вертикальная ось на рисунке), а лагранжиан проходит по траектории движущейся частицы, по оси t'.

На иллюстрации показана релятивистская волна де Бройля на диаграмме Минковского. Треугольник представляет отношение между лагранжианом и гамильтонианом, которое выполняется как в релятивистской, так и в нерелятивистской физике.

Гамильтониан подсчитывает фазовые изменения в единицу времени по вертикальной оси, в то время как член pv подсчитывает фазовые изменения на единицу по горизонтальной оси, представляющей расстояние: v — расстояние, пройденное за единицу времени, тогда как p пропорционально фазе. изменяется на единицу расстояния, отсюда и термин pv.

Действие теперь можно рассматривать как пропорциональное общему количеству фазовых переходов на траектории частицы. Таким образом, принцип наименьшего действия эквивалентен принципу наименьшего фазового перехода . В специальной теории относительности последний эквивалентен принципу наименьшего собственного времени , поскольку «собственное время», переживаемое частицей, пропорционально количеству фазовых переходов на траектории.

Ганс

Через некоторое время после того, как Ньютон описал законы природы в терминах мгновенных отношений, другие заметили, что историю , а не мгновенное состояние системы можно, по крайней мере в одном случае, описать, сказав, что она подчиняется определенному соотношению: конкретная функция, описывающая историю, всегда должна быть той, которая (а) начинается и заканчивается наблюдаемыми значениями и (б) имеет наименьшее значение этой функции.

Это полная противоположность взгляду на природу в одно мгновение.

Частным случаем был путь (история) светового луча через две разные среды. Функция, которая была минимизирована, называлась T: время, за которое луч проходит путь от A до B. Они сказали: «Существует бесконечное число возможных путей; закон природы, который применяется в этом случае, состоит в том, что функция T является наименьшей. всех возможных путей».

Это инстинктивно привело к вопросу о том, не может ли это быть частным случаем более общей формулировки закона природы, эквивалентной ньютоновской: в любой системе, а не только в световых лучах, есть некоторая функция (например, время прохождения) который может быть обнаружен, который сведен к минимуму. Природа всегда будет выбирать траекторию, на которой эта функция минимальна.

По определению эта функция, если она существует, является действием. (Может быть больше одного). Для классической механики функция представляет собой интеграл от разности между потенциальной и кинетической энергиями, но было бы неверно и запутанно принимать последнюю как определение действия. Принцип наименьшего действия гораздо более общий. Например, это относится к квантовой физике.

Интуитивно действие — это то, что сводится к минимуму, как время распространения светового луча или средняя потенциальная энергия минус кинетическая энергия тела, катящегося по холмистой поверхности от А до Б, в каждой истории, на каждой траектории.

Если вы знакомы с реляционными базами данных, Ньютон сформулировал закон природы как ВЫБОР атрибутов, описывающих состояние системы («где была частица в момент времени t?» и «каков был ее импульс?»), а более поздние ученые вместо этого выбрали ГРУППОВАЯ функция всех промежуточных состояний между началом и концом мысленного эксперимента.

I) Не менее трех различных величин в физике принято называть действием и обозначать буквой$S$:

1. Действие вне оболочки$S[q;t_i,t_f]$,

2. Действие (Дирихле) на оболочке$S(q_f,t_f;q_i,t_i)$, а также

3. Основная функция Гамильтона$S(q,\alpha, t).$

Их определения и то, как они взаимосвязаны, см., например, в моем ответе Phys.SE здесь . (Здесь слова « внутри оболочки» и « вне оболочки » относятся к тому, удовлетворяются ли уравнения движения (EOM) или нет.)

II) ОП, по-видимому, думает о первом варианте: действие вне оболочки

которые могут быть оценены по (возможно, виртуальным) путям$q:[t_i,t_f]\to\mathbb{R}$, которые не обязательно удовлетворяют уравнениям Эйлера-Лагранжа (=EOM). Лагранжиан$L$обычно представляет собой разницу между кинетической и потенциальной энергией, но мы предупреждаем, что это не обязательно так, ср. например , этот пост Phys.SE и ссылки в нем.

III) Можно спросить: почему мы рассматриваем виртуальные/нефизические пути, которые не обязательно удовлетворяют EOM?

Ответ: Как минимум по двум причинам:

1. Нельзя вывести уравнения Эйлера-Лагранжа, не допуская виртуальных путей, ср. принцип стационарного действия .

2. В квантовой механике виртуальные пути вносят вклад в интеграл по путям как квантовые флуктуации и имеют физические последствия. (Они, например, отвечают за определитель Ван Флека в квазиклассическом приближении через интегрирование Гаусса.)

IV) См. также, например , этот связанный пост Phys.SE.

Действие не имеет непосредственной физической интерпретации, но может пониматься как производящая функция канонического преобразования; см., например, http://en.wikipedia.org/wiki/Hamilton-Jacobi_equation

Я более или менее согласен с Арнольдом, ограничивающим наше внимание классической динамикой. Однако в квантовой механике (КМ) и теории поля (КТП) действие представляет собой натуральный логарифм амплитуды вероятности распространения системы из начальной конфигурации частиц в КМ или полей в КТП. Фейнман воспользовался комментарием Дирака в своей книге по КМ, что, перефразируя, экспонента$-i \hbar S$связана с амплитудой вероятности распространения.

Это несколько менее удовлетворительно, чем, скажем, интерпретация потенциальной или кинетической энергии. Но хоть что-то.

Действие является функционалом еще не определенных функций$q(t)$а также$\dot q(t)$такое, что его минимум (или стационарное состояние$\delta S =0$) определяет семейство возможных реальных движений физической системы как общие решения дифференциального уравнения. Окончательный выбор одного реального движения из этого семейства определяется заданием некоторых конечных точек (или чаще - начальных условий). Он фиксирует произвольные константы и дает уникальную кривую.