Когда отказаться от сложной математической задачи?

Мое мнение, что вы должны спать на нем.

Перейдите к другой проблеме или просто сделайте перерыв и вернитесь к ней позже.

Кроме того, если вы наткнулись на кирпичную стену, вам может понадобиться подойти с другого угла, чтобы найти проход.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Честно говоря, я никогда прямо не отвечал на вопрос, когда давал четыре следующих пункта. Я думаю, что есть прогресс, хотя. Оба варианта (1) и (2) описывают ваши чувства, которые предполагают, что вам следует бросить курить. Я хочу сказать, что ни один из них сам по себе не указывает на отказ от проблемы. Что касается (2), я предлагаю вам, возможно, подумать о том, почему вы хотите решить проблему в первую очередь (обратите внимание на философский характер моего ответа на ваш вопрос). Но с другой стороны, решение проблем требует техник, и спрашивать, когда сдаться, — это все равно, что просить больше техник. В пунктах (3) и (4) я предлагаю несколько техник для продвижения процесса, которые могут помочь, если вы чувствуете себя очень застрявшим. В конечном счете, вы решаете, как сильно вы будете стараться и когда сдаться.

(1) Это чувство застревания и/или некоторого разочарования типично и является частью того, на что вы подписываетесь, когда пытаетесь решить трудные проблемы. Если вы учитесь на математика, вам нужно привыкнуть к этому чувству. Это как быть солдатом — это такая же смена образа жизни, как и умение стрелять из оружия. Вам нужно справиться с этим и использовать его в своих интересах. То, что вы задаете этот вопрос, показывает, что вы начинаете это делать. Не могу сказать, что во всем разобрался, но скажу, что одна из самых важных вещей, которым я научился в аспирантуре, это то, как смириться с этим чувством зависимости/упрямства/разочарования, когда работаешь над проблемой и не получаешь удовольствия. в любом месте.

(2) Не допускайте негативных или самоуничижительных мыслей. Вы часто будете думать: «Я такой глупый, другие люди, умнее меня, давно бы решили эту проблему». Или вы можете подумать: «Математика бесполезна, слишком много работы и никакой награды». Это правда, другие люди умнее вас и решат проблему быстрее, чем вы — возможно. Ну и что? Вы занимаетесь математикой, чтобы произвести впечатление на других людей? Или вы делаете это для работы, или для собственного удовольствия, или для собственного образования? А как насчет того, что математика не стоит усилий? Может быть, это правда. Но бывают разные сложности задач. Гипотеза Римана, вероятно, слишком сложна. Для вас задачи Патнэма, вероятно, вполне подходят. Поэтому постарайтесь решить, какая трудность того стоит для вас. Совсем не избегай трудностей,

В любом из этих случаев они выявляют ваше фундаментальное предубеждение в отношении математики, которое следует устранить. Может быть, вы не можете убедить себя, что математикой стоит заниматься. Ладно, тогда подбери что-нибудь другое. Но просто спросите многих людей здесь, и они скажут что-то убедительное.

Если вы действительно начинаете волноваться и не можете справиться с этими мыслями, лучше всего отвлечь себя чем-нибудь другим. См. (4).

(3) Найдите что-то интересное в проблеме или косвенно связанное с ней. Когда вы застряли, вам часто становится скучно от проблемы. Просто ничего нового не увидишь! Если бы вы могли увидеть что-то новое, вы бы не чувствовали себя застрявшим. Но думали ли вы об изменении предпосылок проблемы? Пробовали ли вы искать примеры или контрпримеры гипотезы? Приходят ли на ум какие-либо математические приемы, хотя бы косвенно, при работе над задачей? Вместо этого подумайте об этих вещах. Идея состоит в том, чтобы найти что-то легкое для изучения проблемы. Будьте изобретательны и не думайте о том, чтобы полностью решить проблему. Помните о своем удовольствии.

(4) Спать на нем, обедать, гулять или скомкать формулировку задачи и выкопать ее из мусора через месяц. Часто способность решить определенную проблему основана на том, что вы уже узнали. Если вы не проделали тяжелой работы, скажем, по изучению конкретного неравенства, полученного из неравенства Гёльдера, то его невозможно будет использовать ни в одной задаче, где это требуется. Может быть, вы выучили его, но не очень хорошо или давно. В этом случае вам нужно дать своему уму некоторое время, чтобы вывести его на передний план.

Я думаю, подумать 30 минут не так уж и много. Старайтесь усердно даже в течение гораздо более длительного времени, если возможно, пару часов (настоящая сложная задача должна занимать как минимум день). Запишите также промежуточные важные выводы, чтобы вам не приходилось открывать их снова и снова. Лично я люблю есть, пить и спать с проблемой , если вижу в этом какую-то красоту, пока не появится свет в конце туннеля.

Это зависитна проблему. Поскольку вы уже пробовали решить множество задач, я думаю, нетрудно догадаться, действительно ли решение полностью вам недоступно. В этом случае либо вы можете посмотреть на решение, если оно есть, либо вы можете просто отложить проблему в сторону и подождать, пока не почувствуете, что она находится в пределах вашей досягаемости. В последнем случае даже лет нормально. В моем собственном опыте было довольно много таких задач, которые я не знал, как решить, когда впервые столкнулся с ними, но через несколько лет я внезапно смог установить необходимые связи для их решения, иногда даже между областями математики, которые ранее не казалось связанным таким образом. С другой стороны, если вы предполагаете, что решение находится в пределах вашей досягаемости, вы можете попробовать по несколько часов за раз, но с такими же длинными перерывами между ними.

30 минут ничего. Даже для imo на каждую задачу должно быть полтора часа, хотя последняя задача должна занимать больше. Для меня это зависит от того, насколько мне нравится проблема, с проблемами, которые мне не нравятся, я даю им 1 час, однако 1 час на то, чтобы действительно подумать об этом. И если я не решу его после этого, я посмотрю на решение. Однако, если это проблема, которая мне действительно нравится, я могу думать о ней неделями, прежде чем думать о поиске решения. Что я делаю много раз, так это захожу в нерешенный раздел mathlinks.ro и решаю эти задачи, это действительно хорошо для меня, потому что у меня нет соблазна сдаться и искать решение, и это еще более сложная задача. . В заключение, по крайней мере, 1 час для меня, без верхней границы, в зависимости от того, насколько вам это нравится.

Ждать

В своей книге «Недискретные мысли» математик Джан-Карло Рота описывает еще один «метод Фейнмана»:

«Ричард Фейнман любил давать следующий совет о том, как быть гением. Вы должны постоянно держать в уме дюжину ваших любимых проблем, хотя по большому счету они будут лежать в спящем состоянии. Каждый раз, когда вы слышите или прочтите новый трюк или новый результат, проверьте его на каждой из ваших двенадцати задач, чтобы увидеть, поможет ли он. Время от времени будет попадание, и люди скажут: "Как он это сделал? Он, должно быть, гений!»

Я хотел бы добавить немного к другим ответам (в частности, к ответу @nayrb):

1. В самом деле, когда ваши колеса останавливаются, их дальнейшее напряжение не даст гораздо лучших результатов; это случай убывающей отдачи . Остановитесь, отдохните, займитесь чем-нибудь другим на некоторое время, даже дайте себе отдохнуть пару дней, прежде чем вернуться к проблеме.
2. Мозг много обрабатывает в автономном режиме, когда вы не занимаетесь проблемой активно. Много во сне. Иногда, когда вы возвращаетесь к проблеме прошлой недели, вы видите, что она «настолько очевидна», что «почему она была проблемой с самого начала»?
3. Наш мозг очень чувствителен к контексту, вы можете видеть это в таких явлениях, как прайминг и « эффект тетриса ». Для вас это означает, что вы можете чрезмерно сосредоточиться на одном образе действий или одной стратегии доказательства (или даже на паре) и утратить свою «постороннюю» точку зрения — слишком сильно давить на стратегию аналитической геометрии. , например, и в какой-то момент начинаешь все видеть сквозь «очки» аналитической геометрии. И единственный способ облегчить это — взять отпуск.
4. И действительно, не расстраивайтесь, если какое-то время не получается. Отнеситесь к этому разумно: это проблема, она требует решения, а решение требует времени. И даже если после долгих размышлений и многих дней размышлений вы не пришли к решению, нет ничего постыдного в проверке ответов. Не все проблемы стоит решать сами по себе — от одних вы узнаете больше, чем от других, и в конце концов все дело в улучшении ваших способностей и получении удовольствия при этом. Если вы приходите к чувству истощения - не умственного или эмоционального, а области возможных решений- значит, вы исчерпали пользу, которую можно получить от определенной проблемы. То же самое верно, если вы все еще можете получить какую-то выгоду, но процесс слишком долгий и слишком разочаровывающий, чтобы его можно было оправдать. Это вопрос соотношения цена/качество, и если есть другая проблема, процесс поиска решения будет таким же полезным, но более приятным или более подходящим для ваших математических способностей — двигайтесь дальше, это не стыдно.
5. И последнее, но не менее важное: помните, что ваш вопрос — это всего лишь частный случай решения проблемы . Вы можете обнаружить, что некоторое общее чтение по этому вопросу полезно как для вашей конкретной головоломки, так и для других, которые могут возникнуть в будущем.

Ответ для вас меняется со временем.

Это очень похоже на избитый анекдот о профессоре математики, работающем на$45$минут на проблему, глядя вверх и говоря: «Это тривиально!» По мере того, как вы все больше и больше работаете над математическими задачами, вы начинаете работать дольше, не впадая в уныние. Например,$30$минуты могут показаться вечностью , но после работы над кучей (сложных/растягивающих) задач вы, вероятно, подумаете, что это кажется маленьким.

Всегда растягивайте/подталкивайте себя и никогда не теряйте из виду, почему вы решаете проблему.

Конечно, если вы имеете в виду «Когда отказаться от сложной математической задачи, во время соревнования по стратегическим причинам », это совсем другая проблема.

Как сказал Пит Хейн в «Grooks»1: «Проблемы, достойные атаки, доказывают свою ценность, давая отпор». Отойдите от проблемы, но вернитесь к ней позже.