Фермионы, разные виды и (анти) правила коммутации

Я думаю, что существующие ответы на вопрос неполны и запутаны, поэтому позвольте мне уточнить.

Гильбертово пространство двух независимых фермионов разных видов (например, электрона и протона) является тензорным произведением соответствующих пространств, и полевые операторы для двух фермионов действуют независимо от двух факторов в тензорном произведении ($\psi_1\otimes I_2$и$I_1\otimes \psi_2$с$I_{1,2}$тождественные операторы на двух малых гильбертовых пространствах). Подобные операторы коммутируют по определению, поскольку они касаются совершенно независимых степеней свободы.

Это касается абсолютно любых квантовых полей: пока они создают/аннулируют независимые степени свободы, они коммутируют. Два фермиона, два бозона, фермион и бозон, что угодно. Единственный раз, когда возникает антикоммутация, это когда вы записываете отношения для одного фермиона с самим собой.

Однако иногда у вас есть несколько «разновидностей» фермионов, которые «смешиваются» под действием какой-то группы (например, кварки под действием$SU(3)$). В этом случае они должны антикоммутировать, чтобы отношения оставались инвариантными под действием перемешивающей группы. Это признак того, что ароматы лучше рассматривать как простые компоненты одного большего фермионного поля с дополнительным индексом, который теперь не просто перечисляет фермионы, но превращает их в один элемент представления группы.

Подводя итог, можно сказать, что «виды» любых двух полей коммутируют, а «ароматы» одного фермионного поля антикоммутируют (потому что на самом деле они являются просто компонентами одного большего фермиона).

Я хочу дать другую перспективу. Бозоны и фермионы обычно вводятся с учетом волновой функции многих тел.

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle$$

в основе положения, где$x_1,\ldots,x_N$позиции$N$частицы. Если эти$N$частицы различимы, то, переставляя$x_j$должна приводить к физически эквивалентной волновой функции, отличающейся от исходной на фазу. Эти фазы должны быть последовательно определены, то есть они дают гомоморфизм из группы перестановок$S_N \to U(1)$. Оказывается, таких гомоморфизмов два: тривиальный и$-1$к количеству обменов. Они соответствуют бозонным или фермионным частицам соответственно.

Теперь рассмотрим гильбертово пространство, включающее$N$-частичные состояния для всех$N \ge 0$, с состоянием$|0\rangle$мы называем вакуумом. Определим оператор создания$a^\dagger(x)$который создает частицу в$x$(все частицы по-прежнему неразличимы). Затем мы определяем

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle = a^\dagger(x_N)\cdots a^\dagger(x_1)|0\rangle.$$

Мы видим, что наше перестановочное действие, таким образом, эквивалентно коммутативности или антикоммутативности операторов рождения в бозонном или фермионном случае соответственно.

Эта перестановочная симметрия накладывает реальные ограничения на допустимые$|\psi(x_1,\ldots,x_N)\rangle$, такие как принцип запрета Паули для фермионов.

Однако симметрия перестановок не так впечатляет с несколькими типами частиц. Предположим, что у нас есть другой вид частиц в позициях$y_1,\ldots,y_M$и совместная волновая функция

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N,y_1,\ldots,y_M)\rangle.$$

Эта волновая функция фиксируется$S_N \times S_M$, вплоть до фаз, которые определяют, является ли каждый вид бозонным или фермионным. Нет возможности поменять местами$x$частица с$y$частица однако.

Точно так же мы можем определить другой набор операторов создания$b^\dagger(y)$которые создают$y$частица в положении$y$. И для чего

$$|\psi(x_1,\ldots,x_N,y_1,\ldots,y_M)\rangle = b^\dagger(y_M) \cdots b^\dagger(y_1)a^\dagger(x_N)\cdots a^\dagger(x_1) |0\rangle.$$

Мы видим, что перестановочные представления$S_N$и$S_M$определяют коммутационные отношения двух видов операторов созидания между собой, но определяют ли они коммутационные отношения их друг с другом? На самом деле, вопреки нескольким другим ответам, они этого не делают .

Чтобы понять почему, давайте изучим два разных вида фермионов. Физически различное означает, что отдельные числа частиц, которые схематически

$$N = \int dx a^\dagger(x) a(x) \qquad M = \int dx b^\dagger(x) b(x)$$

оба сохраняются. Это ключ к аргументу. Обратите внимание, что это Hemitian.

Предположим, теперь мы делаем обычное квантование, где$a$и$b$анти-коммутируют. Давайте определим

$$b' = (-1)^N b.$$

Мы наблюдаем, что$b'$антикоммутируют друг с другом, но коммутируют с$a$. _ Кроме того, мы можем определить многочастичные состояния, используя$b'$и отличаются они только тем, что мы имели выше знаком. Наконец, временная эволюция$b'$эквивалентна временной эволюции$b$потому что$N$сохраняется.

Причина, по которой некоторые другие ответы ошибались, думая о причудливых вещах, таких как$\mathbb{Z}_2$-градуированные алгебры и супер-скобки Пуассона заключается в том, что при наличии нескольких видов существует несколько градуировок: в этом случае$\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$оценка.

С геометрической точки зрения, которая имеет отношение к бозонизации, мы бы сказали, что все нейтральные фермионы связаны с одной и той же спиновой структурой. Однако, когда существуют глобальные симметрии, мы можем присоединить операторы заряда к нашим фермионам для этих глобальных симметрий (как мы сделали выше), эффективно создавая множественные спиновые структуры, наблюдаемые разными видами фермионов.

Подробнее см. в этой статье: https://arxiv.org/abs/1312.0831 .

Фермионные операторы рождения и уничтожения всегда удовлетворяют коммутационным соотношениям с бозонными (или, в более общем случае, четными) операторами и антикоммутационным соотношениям с фермионными операторами рождения и уничтожения (или, в более общем случае, нечетными операторами). Это следует из свойств суперскобки Пуассона. См. Супералгебру Пуассона.

В частности, операторы создания для различных ортогональных режимов всегда антикоммутируют.

Фермионы$f_i,\,f_j$с соответствующими импульсами$\pi_i,\,\pi_j$ удовлетворяют одновременным каноническим антикоммутационным соотношениям

$$\left\{\ f_i,\,f_j \right\} = \left\{\ \pi_i,\,\pi_j \right\} = 0,\,\left\{\ f_i\left(t,\,\mathbf{x}\right),\,\pi_j \left(t,\,\mathbf{x'}\right)\right\} = i\hbar \delta_{ij} \delta \left(\mathbf{x},\,\mathbf{x'}\right),$$ где второй $\delta$представляет собой дельту Дирака. $i=j$частный случай представляет собой обобщение теории одного фермона $f$импульса $\pi$. Почему $i\neq j$случаев использовать антикоммутаторы вместо коммутаторов? Поскольку мы хотим, чтобы наши правила были инвариантны относительно $f_i \to \sum_j M_{ij} f_j,\,\pi_i \to \sum_j \left(M^{-1}\right)_{ji} \pi_j$для обратимых выборов матрицы $M$. Не существует последовательного способа добиться этого, иногда используя коммутаторы. Аналогичное объяснение доступно в терминах лестничных операторов.